Matematika za prijemni ispit na ETF - Šta učiti?

Ne garantujem da će apsolutno sve ovo biti na ispitu, jer se zadaci prijemnog menjaju iz godine u godinu. Lista je sastavljena na osnovu primeraka prošlogodišnjih prijemnih ispita. ETF uglavnom ne menja oblast, već samo zadatke što se i očekuje, tako da će ova lista najverovatnije važiti još duži vremenski period. Svaka ova oblast se uči u srednjim školama (ETŠ, Mat Gimn i slične).

OBLAST 1: Osnovne logičke operacije. Pojam funkcije

A) Osnovne logičke operacije

Iskazi (sudovi)

• Šta je iskaz: rečenica koja je ili tačna (1) ili netačna (0), nikad oba.
• Iskazna slova: p, q, r…

Logičke operacije (veznici), moraš znati tablice istinitosti za sve:

• Negacija (¬p, “ne p”)
• Konjunkcija (p ∧ q, “p i q”), tačna samo kad su oba tačna
• Disjunkcija (p ∨ q, “p ili q”), tačna kad je bar jedan tačan
• Implikacija (p ⟹ q, “ako p onda q”), netačna samo kad je p tačno a q netačno
• Ekvivalencija (p ⟺ q, “p ako i samo ako q”), tačna kad p i q imaju istu vrednost

Tautologije: iskazne formule koje su uvek tačne (npr. p ∨ ¬p)

• De Morganovi zakoni: ¬(p∧q) = ¬p∨¬q i ¬(p∨q) = ¬p∧¬q
• Zakon kontrapozicije: (p⟹q) ⟺ (¬q⟹¬p)
• Asocijativnost, komutativnost, distributivnost logičkih operacija

Kvantifikatori

• Univerzalni kvantifikator ∀ (“za svako”)
• Egzistencijalni kvantifikator ∃ (“postoji”)
• Negacija iskaza sa kvantifikatorima: ¬(∀x P(x)) ⟺ ∃x ¬P(x)

Skupovi (povezano sa logikom)

• Operacije: unija (∪), presek (∩), razlika, komplement
• Podskup, partitivni skup
• Dekartov proizvod skupova
• Vensovi dijagrami

B) Pojam funkcije

Osnovni pojmovi

• Definicija funkcije: preslikavanje f: A → B koje svakom elementu domena dodeljuje tačno jedan element kodomena.
• Domen (oblast definisanosti), kodomen, skup vrednosti (rang)
• Grafik funkcije

Vrste funkcija

• Injektivna (1-1): razne vrednosti x dovode do raznih y
• Surjektivna (na): svaki element kodomena je pogođen
• Bijektivna: i injektivna i surjektivna (postoji inverzna funkcija)

Osobine funkcija

• Parna funkcija: f(-x) = f(x), simetrična oko y-ose
• Neparna funkcija: f(-x) = -f(x), simetrična oko koordinatnog početka
• Monotonost: rastuća, opadajuća, neopadajuća, nerastuća funkcija (na intervalu)
• Periodičnost funkcije
• Ograničenost funkcije

Operacije sa funkcijama

• Zbir, razlika, proizvod, količnik funkcija
• Složena funkcija (kompozicija): (f∘g)(x) = f(g(x)). Veoma važno, često se pita.
• Inverzna funkcija f⁻¹: kako se određuje, uslov postojanja (bijektivnost)
• Grafik inverzne funkcije je simetričan grafiku polazne funkcije u odnosu na pravu y = x

Šta najčešće ispituju na prijemnom iz ove teme:

• Određivanje domena funkcije (kad je f(x) definisano: razlomci ≠0 u imenitelju, izrazi pod korenom ≥0, izrazi pod logaritmom >0)
• Ispitivanje parnosti/neparnosti
• Sastavljanje i raspoznavanje složene funkcije
• Nalaženje inverzne funkcije

OBLAST 2: Racionalni algebarski izrazi. Polinomi

Racionalni algebarski izrazi

• Skraćivanje razlomaka (faktorizacija brojioca i imenioca)
• Operacije sa racionalnim izrazima: sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje
• Zajednički imenilac
• Uslovi definisanosti (imenilac ≠ 0)

Polinomi

Osnovno

• Stepen polinoma, koeficijenti, slobodan član
• Sabiranje, oduzimanje, množenje polinoma
• Deljenje polinoma: algoritam deljenja s ostatkom

Faktorizacija (ključna veština za skoro sve zadatke)

• Izvlačenje zajedničkog faktora
• Razlika kvadrata: a² - b² = (a-b)(a+b)
• Razlika i zbir kubova: a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)
• Kvadrat binoma: (a±b)² = a² ± 2ab + b²
• Kub binoma: (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
• Grupisanje članova

Nule polinoma

• Bezuov stav: ostatak deljenja P(x) sa (x-a) jednak je P(a)
• Posledica: (x-a) je faktor P(x) akko je P(a) = 0
• Hornerova šema, brzo deljenje polinoma linearnim faktorom (x-a). Mora se znati, štedi mnogo vremena na ispitu.
• Traženje racionalnih nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima (nula je razmer p/q, p deli slobodan član, q deli vodeći koeficijent)
• Vijetove formule, veza koeficijenata i nula polinoma (posebno za kvadratnu jednačinu, korisno i za kubne)

Šta najčešće ispituju:

• Faktorizacija izraza pomoću formula
• Hornerova šema za deljenje i nalaženje nula
• Skraćivanje složenih racionalnih izraza
• Određivanje domena racionalnog izraza

OBLAST 3: Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi

Linearna funkcija

• Oblik y = kx + n; k = koeficijent pravca (nagib), n = odsečak na y-osi
• Grafik je prava linija
• Rastuća (k>0), opadajuća (k<0), konstantna (k=0)
• Nula funkcije (presek sa x-osom)
• Uslov paralelnosti dve prave: k1 = k2
• Uslov normalnosti (upravnosti): k1 · k2 = -1

Linearne jednačine

• Jednačine sa jednom nepoznatom, rešavanje
• Jednačine sa parametrom (analiza u zavisnosti od parametra)
• Jednačine sa apsolutnom vrednošću |x| (raščlanjavanje po slučajevima)

Linearne nejednačine

• Pravila pri množenju/deljenju nejednačine negativnim brojem (menja se znak)
• Nejednačine sa apsolutnom vrednošću
• Predstavljanje rešenja na brojnoj pravoj, zapis kao interval

Sistemi linearnih jednačina

• Sistem 2x2, 3x3
• Metoda zamene (substitucije)
• Metoda suprotnih koeficijenata (eliminacije)
• Determinante i Kramerovo pravilo, veoma korisno za brzo rešavanje na ispitu:
  • D = a1b2 - a2b1 (za 2x2)
  • x = Dx/D, y = Dy/D
• Diskusija rešivosti sistema: jedinstveno rešenje, beskonačno rešenja, nema rešenja (u zavisnosti od D)
• Sistemi sa parametrom

Sistemi linearnih nejednačina

• Presek skupova rešenja pojedinačnih nejednačina

OBLAST 4: Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi

Kvadratna funkcija

• Oblik y = ax² + bx + c (a≠0)
• Temeni (kanonski) oblik y = a(x-p)² + q
• Koordinate temena: p = -b/2a, q = -D/4a (D = diskriminanta)
• Nule funkcije, grafik (parabola), osa simetrije x = -b/2a
• Znak funkcije u zavisnosti od a i diskriminante
• Najveća/najmanja vrednost (ekstrem) kvadratne funkcije

Kvadratne jednačine

• Opšti oblik ax² + bx + c = 0
• Diskriminanta: D = b² - 4ac
  • D > 0 → dva realna rešenja
  • D = 0 → jedno (dvostruko) realno rešenje
  • D < 0 → dva konjugovano-kompleksna rešenja
• Formula za rešenja: x = (-b ± √D) / 2a
• Vijetove formule: x1+x2 = -b/a, x1·x2 = c/a. Često zamenjuju direktno rešavanje.
• Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore: ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
• Bikvadratne jednačine (smena t=x²)
• Kvadratne jednačine sa parametrom, diskusija broja i vrste rešenja

Kvadratne nejednačine

• Određivanje znaka kvadratnog trinoma preko nula i koeficijenta a
• Rešavanje preko parabole (grafički pristup)
• Nejednačine sa razlomljenim kvadratnim izrazima

Sistemi kvadratnih jednačina

• Sistem linearne i kvadratne jednačine (metoda zamene)
• Sistem dve kvadratne jednačine
• Simetrični sistemi (sume i proizvodi nepoznatih, koristi Vijeta unazad)

OBLAST 5: Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine

Algebarske jednačine višeg reda

• Jednačine 3. i 4. stepena, rešavanje faktorizacijom (Hornerova šema + traženje nula)
• Bikvadratne jednačine (smena t = x²)
• Recipročne jednačine

Iracionalne jednačine (nepoznata pod korenom)

• Osnovni postupak: izolovati koren, kvadrirati obe strane
• Obavezna provera rešenja: kvadriranje može uvesti lažna rešenja
• Jednačine sa dva ili više korena, kvadriranje više puta
• Uslovi definisanosti (izraz pod korenom ≥ 0)

Iracionalne nejednačine

• Slučajevi po znaku obe strane pre kvadriranja (ovo je tipičan klizav deo na ispitu)
• Oblik √f(x) < g(x) i √f(x) > g(x), različiti uslovi za svaki
• Uslov definisanosti + uslov znaka + kvadriranje

Jednačine i nejednačine sa apsolutnom vrednošću

• Geometrijsko značenje |x-a| (rastojanje na brojnoj pravoj)
• Raščlanjavanje na intervale prema nulama izraza unutar apsolutne vrednosti

OBLAST 6: Logaritam. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Jednačine i nejednačine

Eksponencijalna funkcija

• Oblik y = aˣ (a>0, a≠1)
• Rastuća za a>1, opadajuća za 0<a<1
• Domen: svi realni brojevi; skup vrednosti: y>0
• Osobine stepena: aˣ·aʸ=aˣ⁺ʸ, aˣ/aʸ=aˣ⁻ʸ, (aˣ)ʸ=aˣʸ, a⁻ˣ=1/aˣ

Pojam logaritma

• Definicija: log_a(b) = c ⟺ aᶜ = b (a>0, a≠1, b>0)
• Osnovna logaritamska identičnost: a^(log_a b) = b
• Osobine logaritma (moraju se znati napamet):
  • log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  • log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
  • log_a(xⁿ) = n·log_a(x)
  • log_a(ⁿ√x) = (1/n)·log_a(x)
• Formula za promenu osnove: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)
• Dekadni logaritam (log), prirodni logaritam (ln, osnova e)

Logaritamska funkcija

• y = log_a(x), inverzna funkcija eksponencijalne
• Domen: x>0; rastuća za a>1, opadajuća za 0<a<1
• Grafik je simetričan grafiku eksponencijalne funkcije u odnosu na y=x

Eksponencijalne jednačine

• Svođenje na isti stepen osnove: aˣ=aʸ ⟹ x=y
• Smena t = aˣ
• Logaritmovanje obe strane kad osnove nisu isti broj

Eksponencijalne nejednačine

• Pažnja na smer nejednakosti zavisno od baze (a>1 čuva smer, 0<a<1 obrće smer)

Logaritamske jednačine

• Korišćenje osobina logaritma za svođenje na jedan logaritam
• Provera uslova definisanosti (izraz pod logaritmom mora biti >0)
• Smena t = log_a(x)

Logaritamske nejednačine

• Pažnja na smer nejednakosti zavisno od baze
• Uslovi definisanosti za sve logaritme u izrazu

OBLAST 7: Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine, nejednačine. Primena trigonometrije na trougao

Osnovne trigonometrijske funkcije

• sin, cos, tg, ctg, definicije na jediničnom krugu i u pravouglom trouglu
• Vrednosti za karakteristične uglove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° (moraju se znati napamet)
• Znaci funkcija po kvadrantima
• Periodičnost: sin i cos imaju period 2π, tg i ctg imaju period π
• Parnost: cos je parna, sin/tg/ctg su neparne

Osnovni identiteti

• sin²x + cos²x = 1
• tgx = sinx/cosx, ctgx = cosx/sinx
• tgx·ctgx = 1
• 1 + tg²x = 1/cos²x
• 1 + ctg²x = 1/sin²x

Formule redukcije

• Svođenje uglova (90°±x, 180°±x, 270°±x, 360°±x) na osnovni ugao

Adicione formule (moraju se znati napamet)

• sin(x±y) = sinx·cosy ± cosx·siny
• cos(x±y) = cosx·cosy ∓ sinx·siny
• tg(x±y) = (tgx±tgy)/(1∓tgx·tgy)

Formule dvostrukog i poludvostrukog ugla

• sin2x = 2sinx·cosx
• cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x-1 = 1-2sin²x
• tg2x = 2tgx/(1-tg²x)
• Formule poluugla (preko tg(x/2))

Transformacija zbira/razlike u proizvod i obrnuto

• sinx+siny, sinx-siny, cosx+cosy, cosx-cosy formule
• Korisno za rešavanje jednačina i identiteta

Trigonometrijske jednačine

• Osnovne: sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, opšta rešenja
• Jednačine koje se svode na osnovne (smena, faktorizacija, korišćenje identiteta)
• Homogene trigonometrijske jednačine

Trigonometrijske nejednačine

• Rešavanje preko jediničnog kruga ili grafika funkcije

Primena trigonometrije na trougao

• Sinusna teorema: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
• Kosinusna teorema: a² = b²+c²-2bc·cosA
• Površina trougla: P = (1/2)ab·sinC
• Rešavanje (proizvoljnog) trougla, kad su dati razni elementi

OBLAST 8: Kompleksni brojevi

Osnovni pojmovi

• Imaginarna jedinica: i² = -1
• Kompleksan broj: z = a + bi (a = realni deo, b = imaginarni deo)
• Konjugovano kompleksan broj: z̄ = a - bi
• Moduo kompleksnog broja: |z| = √(a²+b²)

Operacije

• Sabiranje, oduzimanje, množenje kompleksnih brojeva (algebarski oblik)
• Deljenje, množenje brojioca i imenioca konjugovano kompleksnim brojem imenioca
• z·z̄ = |z|²

Trigonometrijski (polarni) oblik

• z = |z|(cosφ + i·sinφ), φ = argument kompleksnog broja
• Određivanje modula i argumenta iz a+bi
• Moivrova formula: zⁿ = |z|ⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ)), za stepenovanje
• Množenje i deljenje u trigonometrijskom obliku (moduli se množe/dele, argumenti se sabiraju/oduzimaju)

Korenovanje kompleksnih brojeva

• n-ti korenovi kompleksnog broja, formula sa k=0,1,…,n-1
• Geometrijska interpretacija: n-ti korenovi su raspoređeni na krugu, formiraju pravilan n-tougao

Geometrijska interpretacija

• Kompleksna (Gausova) ravan, kompleksan broj kao tačka/vektor
• Geometrijski smisao modula (rastojanje od koordinatnog početka) i operacija

Kvadratne jednačine sa kompleksnim rešenjima

• Kad je D<0, rešenja su konjugovano kompleksna
• Osnovne jednačine tipa zⁿ = w

OBLAST 9: Analitička geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola, parabola)

Prava

• Jednačina prave kroz dve tačke
• Eksplicitni oblik: y = kx+n
• Opšti (implicitni) oblik: Ax+By+C=0
• Segmentni oblik: x/a + y/b = 1
• Jednačina prave kroz tačku sa datim koeficijentom pravca
• Rastojanje tačke od prave: d = |Ax0+By0+C| / √(A²+B²)
• Ugao između dve prave
• Uslov paralelnosti i normalnosti pravih

Krug

• Jednačina kruga: (x-p)²+(y-q)²=r² (centar (p,q), poluprečnik r)
• Opšti oblik x²+y²+Dx+Ey+F=0, svođenje na kanonski (dopunjavanje do potpunog kvadrata)
• Jednačina tangente na krug u datoj tački
• Uslov dodira prave i kruga (preko rastojanja centra od prave = r)
• Presek prave i kruga

Elipsa

• Kanonski oblik: x²/a² + y²/b² = 1
• Elementi: poluose a i b, fokusi, ekscentricitet e=c/a (c²=a²-b²)
• Direktrise
• Jednačina tangente na elipsu

Hiperbola

• Kanonski oblik: x²/a² - y²/b² = 1
• Fokusi, asimptote (y=±(b/a)x), ekscentricitet e=c/a (c²=a²+b²)
• Jednačina tangente

Parabola

• Kanonski oblik: y²=2px (ili x²=2py)
• Fokus, teme, direktrisa
• Jednačina tangente

Zajedničko za krive drugog reda

• Presek prave i krive (linearni sistem + kvadratna jednačina)
• Uslov dodira (tangencijalnosti) prave i krive

OBLAST 10: Planimetrija (trougao, četvorougao, krug)

Trougao

• Zbir uglova = 180°
• Vrste trouglova: jednakostranični, jednakokraki, pravougli, oštrougli, tupougli
• Pravougli trougao: Pitagorina teorema a²+b²=c²
• Visina, težišna linija, simetrala ugla, simetrala stranice
• Karakteristične tačke: centar upisane kružnice, centar opisane kružnice, težište (deli težišne linije u razmeri 2:1), ortocentar
• Poluprečnik upisane kružnice: r = P/s (s = poluobim)
• Poluprečnik opisane kružnice: R = (abc)/(4P), ili a/(2sinA)
• Površina trougla: P = (1/2)·a·h; Heronova formula P=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
• Sličnost trouglova (SSS, SUS, UU)

Četvorougao

• Paralelogram: osobine stranica/uglova/dijagonala, površina = a·h
• Pravougaonik, kvadrat, posebni slučajevi
• Romb: dijagonale normalne, površina = (d1·d2)/2
• Trapez: osobine, srednja linija m=(a+b)/2, površina = ((a+b)/2)·h
• Deltoid
• Tetivni i tangentni četvorougli (npr. zbir naspramnih uglova tetivnog četvorougla = 180°)

Krug

• Obim: O = 2πr; površina: P = πr²
• Centralni i periferijski ugao (periferijski je upola manji od centralnog nad istim lukom)
• Tangenta na krug, normalna na poluprečnik u dodirnoj tački
• Tangentna duž iz tačke van kruga
• Kružni isečak i kružni odsečak, formule za površinu
• Dužina kružnog luka

Opšte

• Slični mnogouglovi, odnos površina = kvadrat odnosa sličnosti
• Pravilni mnogouglovi, formule za stranicu, površinu, ugao

OBLAST 11: Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i delovi sfere)

Prizma

• Prava i kosa prizma; pravilna prizma
• Površina: P = 2B + M (B=osnova, M=omotač)
• Zapremina: V = B·H

Piramida

• Pravilna piramida, osnovna ivica, bočna ivica, visina, apotema
• Površina: P = B + M
• Zapremina: V = (1/3)·B·H

Zarubljena piramida

• Dve paralelne osnove (B1, B2), visina H
• Zapremina: V = (H/3)·(B1 + B2 + √(B1·B2))

Valjak

• Površina: P = 2πr² + 2πrH
• Zapremina: V = πr²H

Kupa

• Izvodnica l, veza l²=r²+H²
• Površina: P = πr² + πrl
• Zapremina: V = (1/3)πr²H

Zarubljena kupa

• Dva poluprečnika r i R, izvodnica l
• Zapremina: V = (πH/3)·(R²+Rr+r²)
• Površina omotača: M = πl(R+r)

Sfera i delovi sfere

• Površina sfere: P = 4πr²
• Zapremina lopte: V = (4/3)πr³
• Kalota (sferni odsečak), sferni isečak, formule za površinu i zapreminu
• Presek sfere ravni, krug

Opšte napomene

• Najčešće se traži kombinacija figura (upisane/opisane figure jedna u drugu)
• Bitna je prostorna vizualizacija i Pitagorina teorema u 3D (dijagonale kocke/kvadra)

OBLAST 12: Kombinatorika. Binomna formula. Aritmetička i geometrijska progresija

Kombinatorika

• Permutacije: broj rasporeda n različitih elemenata: Pn = n!
• Permutacije sa ponavljanjem: n!/(k1!·k2!·…)
• Varijacije (bez ponavljanja): Vnk = n!/(n-k)!, bitan poredak
• Varijacije sa ponavljanjem: V’nk = nᵏ
• Kombinacije: Cnk = n!/(k!(n-k)!) = (n nad k), poredak nebitan
• Kombinacije sa ponavljanjem
• Osnovni principi prebrojavanja: pravilo proizvoda, pravilo zbira

Binomna formula

• (a+b)ⁿ = Σ (n nad k)·a^(n-k)·b^k, za k=0 do n
• Opšti (k-ti) član binomnog razvoja
• Osobine binomnih koeficijenata: Pascalov trougao, (n nad k) = (n nad n-k)
• Zbir binomnih koeficijenata

Aritmetička progresija (niz)

• an = a1 + (n-1)d (d = razlika)
• Zbir prvih n članova: Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(2a1+(n-1)d)
• Aritmetička sredina: ak = (a(k-1)+a(k+1))/2

Geometrijska progresija (niz)

• an = a1·q^(n-1) (q = količnik)
• Zbir prvih n članova: Sn = a1·(qⁿ-1)/(q-1), q≠1
• Zbir beskonačnog geometrijskog niza (|q|<1): S = a1/(1-q)
• Geometrijska sredina: bk² = b(k-1)·b(k+1)

Tipični zadaci

• Mešani zadaci, sistem jednačina sa elementima progresija
• Primena kombinatorike na zadatke izvlačenja, raspoređivanja

OBLAST 13: Granična vrednost. Izvod i primena izvoda

(Ova tema je velika i ide poslednja, javi kad dođeš do nje pa je obradimo posebno detaljno: granične vrednosti nizova i funkcija, pravila izvoda, tablica izvoda, primena na monotonost/ekstreme/tok funkcije.)

Predlog redosleda učenja

1. Teme 1-2 (logika, funkcije, polinomi), temelj za sve ostalo
2. Teme 3-5 (linearno, kvadratno, iracionalno), najčešći tip zadataka na ispitu
3. Tema 6 (logaritmi/eksponencijalne), nadograđuje se na teme 3-5
4. Tema 7 (trigonometrija), najviše pamćenja formula, vredi uraditi rano
5. Tema 8 (kompleksni brojevi), lakša kad savladaš trigonometriju (polarni oblik)
6. Teme 9-11 (geometrija), vizuelne teme, idu zajedno
7. Tema 12 (kombinatorika, progresije), samostalna tema
8. Tema 13 (granične vrednosti, izvodi), za kraj, direktan ulaz u Matematiku 1 na fakultetu